Analysis 1 Lösungen fürs ganze Semester

Hiho,

hab ne Frage zu Beispiel zwei, 3. Teil, also:
[Angabe]:
(A\B) U (B\A) = {} was folgt für die Menge A und B?

versteht jmd, was der damit meint?

hab bisschen rumprobiert und ich komme drauf: es ist egal, ob A und B gleich oder ungleich sind, kann mir jmd weiterhelfen?

MfG
Ali

Hallo Ali....

Er meint glaub ich damit, was für A und B gelten muss, damit diese Gleichung stimmt.
Ich habs mir bisher nur intuitiv überlegt und ich glaube, dass A = B gelten muss damit das stimmt.
Normalerweise kann bei einer Vereinigung von Mengen nie die leere Menge herauskommen (glaub ich zumindest) außer wenn du leere Mengen vereinigst.
Wie gesagt das ganze wird formal sicherlich auch irgendwie beweisbar sein, aber habe heute leider keine zeit dafür mehr...vlt probier ichs morgen mal und poste es dann.
lg tobias

Tobias W. schrieb:Er meint glaub ich damit, was für A und B gelten muss, damit diese Gleichung stimmt.
Ich habs mir bisher nur intuitiv überlegt und ich glaube, dass A = B gelten muss damit das stimmt.

genau das hab ich mir am Anfang auch gedacht, nur bin ich depp dann irgendwie "draufgekommen", dass bei

A vereinigt B : x€A UND x€B rauskommen muss, aber es gilt ja (wie mir grad einfällt) x€A ODER x€B und somit hast du recht, A = B muss gelten

danke dir, Tobi^^ ich glaube, dass es jetzt passt.

MfG
Ali

achso und nochmal etwas zu Bsp 2)

Zeigen Sie, dass A Teilmenge von B g.d., w. A geschnitten B = A

passt hier, wenn ich folgendes schreibe:

(x,y)| x€A UND x€B , y !€A UND y€B


oder ist das zu wenig?

formaler versuch zu: (A\B) U (B\A) = {}
(A\B) U (B\A) = {}
(x€A und x!€B) v (x€B und x!€A) = C
x€A v x!€B und x€B v x!€A => Es gilt: x ist element aus A und nicht element aus B oder x ist element aus B und nicht aus A.

"Verzeiht den folgenden Sprung in der umformung. ich habs ich jetzt nur 1mal probiert aber war falsch und keine Zeit mehr. könnte bitte wer das nachtragen falls ich richtig liege und ich bin mir sicher, dass das stimmt!"

(x€A v x€B) und x!€A,B = C Hier liest es sich jetzt ganz Schön: C ist die Menge aller Elemente für die gilt Das Sie Elemente von A oder B sind aber nicht Elemente der Schnittmenge (!) von A und B, x!€A,B heißt: x!€A UND x!€B
Wenn ich die Leere Menge für C einsetze, gibt es Keine Punkte die In A oder B enthalten sind aber nicht in deren Schnittmenge
Heißt:
(A U B) und (A und B)^c = {}
Bei Folgendem Sprung bin ich mir nicht sicher, weil noch nicht durchgenommen in der VO :wenn ich eine mit und verknüpfte Menge von der einen seite des = auf die andere bringen will, muss ich das Komplement der Menge nehmen
<=> A U B = A und B
<=> A=B

Ich schätze, dass dieser Beweis noch einige Löcher enthält also bitte stopfen !!!!
Natürlich immer ohne gewähr. korekturen erwünscht.

Bsp3:

flokain schrieb:formaler versuch zu: (A\B) U (B\A) = {}
(A\B) U (B\A) = {}
(x€A und x!€B) v (x€B und x!€A) =

Bis dahin hab ichs genauso, allerdings ist bei mir (x€A und x!€B) v (x€B und x!€A) = {} für alle x.
Das gilt, wenn (x€A und x!€B) = {} und (x€B und x!€A) = {}
=>für alle x€A|x€B und für alle x€B|x€A
=>A tm B und B tm A
=>A=B

dürfte so stimmen, Kritik erwünscht
lg dave

ja so hab ich es auch gemeint: nur hab ich viel zu kompliziert gedacht. und sicher irgendwann falsch angeschrieben

aber stimmt so seh ich das auch

hab mir deins jz nochmal durchgelesen und glaub, dass es auch stimmt, 100% sicher bin ich mir aber nicht....
EDIT: stimmt schon, auch das "auf die andere seite bringen". (hier ein dankeschön an flokain)

hab das bsp so wie dave gelöst,.. so müsste es passen

Tobias W. schrieb:De Morgan Regeln beweisen geht auch einfacher...
Zu zeigen ist also: C(A n B) = C(A) u C(B)
Vorraussetzung für meinen Beweis ist natürlich auch noch, dass A, B Teilmenge von der Grundmenge M.
Ich nehm mal nur die rechte Seite der Gleichung her:

C(A n B) = M \ (A n B) = (M\A) n (M\B) = C(A) n C(B) Somit ist die Gleichheit bewiesen.

Ich denke nicht, dass die Gleichheit bewiesen ist, denn du hast statt "C(A) u C(B)" am Ende "C(A) n C(B)", also ein "und" statt ein "oder".

MfG
Ali

bei beispiel neun soll man zeigen ob f(A n B) = f(A) n f(B) ist! meiner meinung nach stimmt das aber warum steht dann das mit dem gegenbeispiel da?

seas michael!
ich glaub, dass - wenn es ein gegenbeispiel giben muss - es wohl nur das folgende sein kann:
a€A, b€B; A geschnitten B = {}
f (a) = f(b) = x
=>f(A geschnitten B) = f({})={} != f(A) geschnitten f(B) = x

wenn es ein Gegenbeispiel geben muss, dann wohl dieses; ansonsten ist für mich die Gleichung richtig.

lg

Ah das stimmt sicher!

danke dave *gg* (wäre echt für max power gewesen )

Das bin ich jetzt bei icq! g

Hallo alle zusammen!

Also ich hab die Morganschen Regeln mit so einer Tabelle bewiesen, wie wir es in Lin.Alg. gemacht haben. Glaubt ihr, dass das auch reicht?? Der Drmota (hab ich das jetzt richtig gschrieben???) hat ja gesagt, dass das auch ein richtiger beweis ist!
Hoffe, dass das passt, die anderen Beweie sind zwar logisch, aber alleine und nervös vor der Tafel, würd es mir schon mit so einer tabelle leichter fallen!!

Den 2.Teil von Nr.2 hab ich auch etwas anders gemacht:

Wir sollen herausfinden, was für A und B gelten muss, damit:

(A\B)u(B\A)={}, das ist ja dasselbe wie: (AuB)\(AnB)={}
d.h.: x€A oder B, aber nicht in A UND B, wenn es solche Elemente nicht gibt (das nehmen wir ja an, weil das Ergebnis die leere Menge ist), dann mus A=B sein!

das hab ich dann noch bewiesen, indemich für B, A in (AuB)\(AnB)={} eingesetzt habe:
dann steht hier also: (AuA)\(AnA)={}, und das ist natürlich eine wahre Aussage weil A\A={}


wäre super wenn mir jemand sagen könnte, ob das so auch stimmt!!!

lg an alle

Tobias W. schrieb:Bsp 7)

2. Teil)
z.Z. ist wenn g o f inj. dann auch f inj.

Also Vorraussetzung: g o f ist inj. d.h. für alle x1,x2 € M gilt g(f(x1)) = g(f(x2)) => x1 = x2
zu Zeigen ist: f(x1) = f(x2) => x1 = x2

Man kann also sagen, wir wissen dass gilt f(x1) = f(x2). Daraus folgt, dass auch g(f(x1)) = g(f(x2)) gilt.
Laut Vorraussetzung kann man dann noch darausschließen, dass x1 = x2. Somit ist bewiesen, dass f inj.

ich hab mir das auch grade angesehen und das was du gemacht hast ist denke ich kein beweis, weil du annimmst (d.h. voraussetzt) was du beweisen möchtest. Es ist ja so dass wir aus g(f(x1)) = g(f(x2)) folgern können sollten, dass f(x1) = f(x2), nicht umgekehrt

Admin schrieb:

Ich denke nicht, dass die Gleichheit bewiesen ist, denn du hast statt "C(A) u C(B)" am Ende "C(A) n C(B)", also ein "und" statt ein "oder".

MfG
Ali

Sorry da hab ich mich verschrieben...es heißt natürlich:
C(A n B) = M \ (A n B) = (M\A) u (M\B) = C(A) u C(B)

mfg tobias

Tobias W. schrieb:Bsp 7)

2. Teil)
z.Z. ist wenn g o f inj. dann auch f inj.

Also Vorraussetzung: g o f ist inj. d.h. für alle x1,x2 € M gilt g(f(x1)) = g(f(x2)) => x1 = x2
zu Zeigen ist: f(x1) = f(x2) => x1 = x2

Man kann also sagen, wir wissen dass gilt f(x1) = f(x2). Daraus folgt, dass auch g(f(x1)) = g(f(x2)) gilt.
Laut Vorraussetzung kann man dann noch darausschließen, dass x1 = x2. Somit ist bewiesen, dass f inj.

Stimmt schon!
ich habs ein bisschen anders aufgeschrieben:
f(x1) = f(x2)
=> g(f(x1)) = g(f(x2)) [Da ja eine Funktion mit demselben Ausgangangswert nicht zwei verschiedene Bildwerte haben darf]
=> x1 = x2 [lt. Voraussetzung von g ° f injektiv]
...is eigentlich eh dasselbe

Dave schrieb:
Stimmt schon!
ich habs ein bisschen anders aufgeschrieben:
f(x1) = f(x2)
=> g(f(x1)) = g(f(x2)) [Da ja eine Funktion mit demselben Ausgangangswert nicht zwei verschiedene Bildwerte haben darf]
=> x1 = x2 [lt. Voraussetzung von g ° f injektiv]
...is eigentlich eh dasselbe

und was hast du damit jetzt bewiesen? das ist tatsächlich genau dasselbe. du setzt voraus dass:

f(x1) = f(x2) => x1 = x2

aber die aufgabe ist, eben das zu beweisen.

so kommt mir das vor. ich weiß auch nicht...

nein, ich/tobias sag/t:
WENN
f(x1) = f(x2)
DANN
g(f(x1)) = g(f(x2)) muss sein, da g Funktion
und daraus folgt
x1 = x2

insgesamt:
f(x1) = f(x2) => x1 = x2

Dave schrieb:nein, ich/tobias sag/t:
WENN
f(x1) = f(x2)
DANN
g(f(x1)) = g(f(x2)) muss sein, da g Funktion
und daraus folgt
x1 = x2

insgesamt:
f(x1) = f(x2) => x1 = x2

warum muss g(f(x1)) = g(f(x2)) sein? angenommen f(x1) != f(x2) dann steht da vereinfacht g(y1)=g(y2) und das ist ja gar nicht ausgemacht.
und hier ist der springende punkt für mich: das f(x1) = f(x2) ist können wir nicht voraussetzen oder? (du schreibst ja selbst: "WENN")

was spricht dagegen, dass f(x1) != f(x2)

ich bin dir dankbar wenn du das klären kannst für mich. die frage kostet mich echt energie grad ...

@Verena:
Tabelle reicht auch, an der Tafel musst du nicht nervös sein, die Mitschrift darf man eh mitnehmen, erklären warums so ist sollte es man halt können.
Bsp 2: Meiner Ansicht nach stimmts, allerdings würd ich am Schluss (AuB)\(AnB)={} => (AuB)=(AnB) => A=B schreiben.

lg dave

Übrigens: bin für die Einführung der Schreib- und Aussprechweise DrMotte ;-)

ich will zeigen: wenn A, dann B
ich sage: wenn A, dann C und wenn C, dann B
daraus folgt: wenn A, dann B

Dave schrieb:ich will zeigen: wenn A, dann B
ich sage: wenn A, dann C und wenn C, dann B
daraus folgt: wenn A, dann B

du sagst also:

A:f(x1) = f(x2)
C:g(f(x1)) = g(f(x2))
B: x1 = x2

wenn f(x1) = f(x2) dann g(f(x1)) = g(f(x2)), weil ja eine fkt gegeben ist für welche gilt, dass jedes x genau auf ein y abbildet.

und wenn g(f(x1)) = g(f(x2)), dann (laut angabe) x1 = x2

ergo: wenn f(x1) = f(x2), dann x1 = x2

und jetzt hab ichs auch kapiert.


EDIT: hätt fast vergessen: vielen dank!

zu 10)
ich denke es gibt 7 fortsetzungen, da eine fortsetzung nur die erweiterung des definitionsbereichs und die erweiterung des bildbereichs um die neuen bilder enthält.

Code:


f1 = {N u {0} -> M : n -> n + 1}
f2 = {N u {1} -> M : n -> n + 1}
f3 = {N u {10} -> M u f3(10) : n -> n + 1}
f4 = {N u {0, 1} -> M : n -> n +1} *
f5 = {N u {0, 10} -> M u f5(10) : n -> n + 1}
f6 = {N u {1, 10} -> M u f6(10) : n -> n + 1}
f7 = {N u {0, 1, 10} -> M u f7(10) : n -> n + 1} *


surjektiv wären in dem fall alle mit * markierten fortsetzungen.
was haltet ihr davon?