Fragen zur UE

Hallo,

kann mir BITTE mal jemand bei der Übung zu lin. Alg. weiterhelfen. Ich habe einfach keine Ahnung wie man einen Beweis aufstellen muss oder kann! Die Beispiele die ich meine sind: A 1.2.3 und A 1.3.2! Und wenn dann noch jemand die Lösung zu A 1.4.1 delta hat, wäre das Perfekt!

VIelen Dank,

Mir fehlen genau die selben Nummern, hab auch keine Ahnung wie man an die Beweise rangeht!!
Bräuchte da auch dringend einen Tip.
lg Hanna

1.2.3a:

tm:= Teilmenge
ges:= geschnitten
ver:= vereinigt

für alle x € 2^(A ges B)| (y€A und y€B) für alle y€x
=> x€2^A und x€2^B =>2^(A ges B) tm (2^A) ges (2^B)
analog in die andere Richtung:
für alle x € 2^A und x € 2^B | (y€A und y€B) für alle y€x
=>x € 2^(A ges B) =>(2^A) ges (2^B) tm 2^(A ges B)

b: geht genauso, nur eben "nur" in die andere Richtung
c: A tm B => 2^A tm 2^B
. => 2^(A ver B) tm 2^B
daraus lässt sich die Anfangsgleichung umformen:
für alle x€ 2^B | x€ 2^B
analog für B tm A.

Fragen, Anregungen und Kritik erwünscht!
Hoffe dennoch es passt alles

1.4.1 delta:
surjektiv, da ja alle x€M auf a abgebildet werden;
Falls jedoch M einelementig ist, gibt es zu zwei verschiedenen x aus der Ausgangsmenge zwei verschiedene y in der Bildmenge (da M aus einem Element besteht) =:zusätzlich injektiv, also bijektiv.

1.3.2 A=B => (für alle x€A|x€B) und (für alle y€B|y€A)
=>für alle (x,y) mit (x€A und y€B) | (x€B und y€A)
und umgekehrt.
<=> A=B => AxB = BxA
glztg erkennt man, dass beide Voraussetungen für AxB = BxA nötig sind => A !=[ungleich]B => AxB != BxA
aus A={} => Es existiert kein (x,y) € AxB und es existiert kein (x,y) € BxA => AxB = BxA
analog für B={}; A,B={}

Danke Dave, du bist mei Hero!!

Hallo Dave,

vielen Dank für deine Mühe!! Beispiel 1.3.2 ist mir jetzt klar. Bei 1.4.1 delta frage ich mich wie es möglich ist dass es zwei x € M gibt, wenn M doch gerade als einelemetig angenommen wurde?
Zu 1.2.3 ist mir nicht ganz klar wo y her kommt. Ist X aufgrund der Potenzmenge kein Element sondern eine Menge und y somit ein Element der Menge x? Warum ist 2^(A ges B) nur Teilmenge und nicht das Selbe wie (2^A) ges (2^B) im folgenden Ausdruck? x€2^A und x€2^B =>2^(A ges B) tm (2^A) ges (2^B)
Eine Zeile darunter ist es plötzlich wieder umgekert. Das ist mir leider noch nicht so ganz klar!
Würde mich sehr freuen wenn jemand versucht Licht in mein dunkles Hirn bringt!


Vielen Dank, Emjay

ad 1.4.1:
stimmt, hier is meine erklärung nicht so gut:
Falls jedoch M einelementig ist, gibt es zu zwei verschiedenen x aus der Ausgangsmenge zwei verschiedene y in der Bildmenge (da M aus einem Element besteht)
besser:
Falls jedoch M einelementig ist, kann es nicht sein, dass es zu zwei verschiedenen x aus der Ausgangsmenge ein y in der Bildmenge gibt (da M aus einem Element besteht) => nicht nicht injektiv

ad 1.2.3:
ja x ist menge, da x tm von einer potenzmenge. bei "geschnitten" gilt eh gleichheit, ich nehm mal an du meinst "vereinigt".
des weiteren: beim 1. kann ich schlüssig in beide richtungen folgerungen ziehen, beim zweiten ist dies nur in eine richtung möglich!

ps: spielst du basketball?

Hi leuz

Hat wer von euch schon bsp 1.1.4 gemacht?

Ich finde da die Fragen völlig hirnrissig, v.a. frage c und d:
c) Welche der insgesamt fünf Hüte haben dieselbe Farbe? --> das ist doch oben definiert (3 rote und zwei weiße ... oder meinen die wer von den studentinnen haben die selbe Frabe auf?) .. ich bin verwirrt

und d) für welche der hüte kann "allein" die farbe definieren ... was bitte soll das für eine frage sein??
plz help =)


Und bei 1.1.2 .. hat das wer gemacht? ... ich weiß da auch nicht genau was die eigentlich wollen ;-)


bsp 1.1.6 wär auch nett wenn mir wer die logische gegenteile posten kann

1.1:2)

a) Die aussage "Dieser Satz hat sechs Wörter" bezieht sich auf einen anderen Satz als "Dieser Satz hat nicht 6 Wörter" das ist der Fehler

b) Hier bedeutet "nichts zweimal was anderes

c) die Eigenschaft einer Zahl beim quadrieren größer zu werden schließt sie zwar als größte zahl aus! es heißt aber nicht das eine zahl ohne dieser eigenschaft dann automatisch die größte zahl ist!

Die Fragen sind ziemlich komisch gestellt ja...vor allem die Frage c) bei 1.1.4
Also du bist nicht der einzige der verwirrt ist...

Zu d) glaub ich ist die Antwort, dass man zu allen fünf Hüten aus der Angabe schon die Farbe bestimmen kann:
A wäre rot, B wäre weiß, c wäre rot, der gezeigte Hut ist weiß und der Hu hinter der Mauer ist rot.
Mir scheint das die sinnvollste antwort auf diese frage...

Dannly schrieb:Hi leuz

Hat wer von euch schon bsp 1.1.4 gemacht?

Ich finde da die Fragen völlig hirnrissig, v.a. frage c und d:
c) Welche der insgesamt fünf Hüte haben dieselbe Farbe? --> das ist doch oben definiert (3 rote und zwei weiße ... oder meinen die wer von den studentinnen haben die selbe Frabe auf?) .. ich bin verwirrt

und d) für welche der hüte kann "allein" die farbe definieren ... was bitte soll das für eine frage sein??
plz help =)


Und bei 1.1.2 .. hat das wer gemacht? ... ich weiß da auch nicht genau was die eigentlich wollen ;-)


bsp 1.1.6 wär auch nett wenn mir wer die logische gegenteile posten kann

1.1.4

A B C Zeigen Wissen

R R W nicht mögl. da sonst B nicht mit "nein" antworten würde
R W R W A,B,C
W W R
W R R R A,B,C

a.) Ja: C weis in dem Moment wo B "nein" sagt, dass sie selbst einen roten Hut aufhaben muss. Hätte C nämlich einen weißen Hut auf wüsste B ihre Farbe (=rot) schon in der ersten Runde! Immer wenn A ihre Farbe kennt, kennt auch B ihre Farbe. (Ich hoffe man kann das aus meiner Tabelle oben so halbwegs erkennen!)
b.) Nein, da C schon mit dem "nein" von B ihre Farbe kennt
c.) Der hergezeigt Hu und der von B haben die gleiche Farbe. A hat das Gegenteil. C hat sowieso rot. (Siehe Tabelle)
d.) C=rot, sonst würde B nicht "nein" sagen

Hoffe die Frage zu deiner Zufriedenheit beantwortet zu haben!
Lg, Emjay

Naja also ich bin auf 3 möglichkeiten gekommen die man aus der angabe schließen kann:

B=r , C=r, Leiter holt r --> A=w
B=w, C=r, Leiter holt w --> A=r
B=r, C=w, Leiter holt w --> A=r

das sind die möglichkeiten die man aus der angabe lesen kann!

also kann man doch a) und b) nur mit "Nein" beantworten oder irre ich mich?
Und Frage d) heißt dann wohl das die 3 studentinnen immer 2 rote und 1 weißer aufhaben müssen?

Aber weiß nicht ob die das wissen wollten .. und bei c) steck ich immer noch ??!??

hm ich versteh dein A nicht ganz ^^ ... gibt es für das bsp nun 1 lösung oder 3??

Hallo Dave,
Die Basketball frage kann ich leider nur verneinen. Bin eher schlecht in Basketball!

Die zweite Erklärung mit M ist mir schon um einiges Klarer. Danke! Muss man hier eine Fallunterscheidung anstellen weil {a} der Zielbereich ist, und ich nicht weis aus wievielen Elementen a besteht?
Wnn bei geschnitten gleichheit gilt warum steht dann im folgenden Ausdruck? x€2^A und x€2^B =>2^(A ges B) HIER:tm UND NICHT "=" (2^A) ges (2^B)?
Wie meinst du das mit dem in beide Richtungen folgern?

Lg, Emjay

Wie ich sehe ist meine Tabelle ist leider etwas schlecht geworden! Hat beim schreiben besser ausgesehen!
Hier ein neuer Versuch:

A B C.................Zeigen........................ Wissen

R R W nicht mögl. da sonst B nicht mit "nein" antworten würde
R W R ..................W .............................A,B,C
W W R
W R R................... R .............................A,B,C

Bei der nicht ausgefüllten Konstellation WWR würde A nicht mit "ja" antworten können, nach dem ein Hut gezeigt wurde!

Also die Folgerungen von Emjay sind alle richtig (denke ich zumindest), mir selber sind genau die selben rausgekommen.

Interessant ist vielleicht noch die Fallunterscheidung ob Student A beide Studenten B und C sehen kann oder nur B (weil C von jenem verdeckt wird)
Der Drmota hat nämlich gmeint, dass das eigentlich nur Auslegungssache ist, wenn man sich aber beide Beispiele durchüberlegt, muss es eigentlich so sein, dass A beide Studenten sieht. Denn im zweiten Fall weiß man gleich nachdem A weiß welche Farbe er hat, selber auch alle Farben von allen Hüten. Die Version ist erstens sehr viel leichter und passt auch nicht wirklich zu den Fragen die danach kommen.

Für alle die das Beispiel selber lösen wollen, ist es meiner Meinung nach wichtig zu beachten dass A,B und C ja selber "Mathestudenten" sein sollen und deswegen auch genau so sehr mitdenken wie wir. (das ist mir persönlich zumindest am Anfang im Weg gestanden, da ich die Figuren mehr als Hirnlose Puppen angeschaut hab, welche grad einmal anhand des Hutes den sie sehen schlussfolgern können)

Zur ersten Frage ist meiner Meinung nach noch wichtig zu sagen dass B die Farbe seines Hutes eigentlich erst nach A weiß, da B ja abhängig von A ist. Erst nachdem A die rage mit "Ja" beantwortet, weiß auch B welchen Hut er hat.


Und am Schluss noch ein Hallo an alle hier im Forum, sehr sehr toll, dass das jemand in die Hand genommen hat, wird sicher noch eine große Hilfe werden, insbesondere je mehr Leute auch aktiv mitmachen. (wobei ich bei Analysis trotzdem wenig Hoffnung habe, dass ich da am Dienstag alle Beispiele fertig habe (und auch selber verstehe), da wird irgendwie schon zu viel Vorwissen bzw intensives Lernen in den ersten paar Tagen vorausgesetzt)

Philip schrieb:

Zur ersten Frage ist meiner Meinung nach noch wichtig zu sagen dass B die Farbe seines Hutes eigentlich erst nach A weiß, da B ja abhängig von A ist. Erst nachdem A die rage mit "Ja" beantwortet, weiß auch B welchen Hut er hat.

Wann weiß es C dann ?? ... es gibt doch 3 fälle!! die möglich sind

super passt jetzt hab ichs gecheckt...

aber die fragestellung c) und d) find ich immer noch komisch !?!? was antwortet man da

Emjay schrieb:Hallo Dave,
Die Basketball frage kann ich leider nur verneinen. Bin eher schlecht in Basketball!

Die zweite Erklärung mit M ist mir schon um einiges Klarer. Danke! Muss man hier eine Fallunterscheidung anstellen weil {a} der Zielbereich ist, und ich nicht weis aus wievielen Elementen a besteht?
Wnn bei geschnitten gleichheit gilt warum steht dann im folgenden Ausdruck? x€2^A und x€2^B =>2^(A ges B) HIER:tm UND NICHT "=" (2^A) ges (2^B)?
Wie meinst du das mit dem in beide Richtungen folgern?

Lg, Emjay

ok, ich versuchs mal so zu erklären:
wenn aus a€A=>a€B dann ist A tm B
wenn aus a€B=>a€A dann ist B tm A (das ist für mich die "andere" Richtung)
Wenn beides gilt, (also A tm B und B tm A) dann ist A=B.

Die Fallunterscheidung is nur bei der Ausgangsmenge M; die Zielmenge {a} ist ja einelementig.

Dave schrieb:1.2.3a:

tm:= Teilmenge
ges:= geschnitten
ver:= vereinigt

für alle x € 2^(A ges B)| (y€A und y€B) für alle y€x
=> x€2^A und x€2^B =>2^(A ges B) tm (2^A) ges (2^B)
analog in die andere Richtung:
für alle x € 2^A und x € 2^B | (y€A und y€B) für alle y€x
=>x € 2^(A ges B) =>(2^A) ges (2^B) tm 2^(A ges B)

b: geht genauso, nur eben "nur" in die andere Richtung
c: A tm B => 2^A tm 2^B
. => 2^(A ver B) tm 2^B
daraus lässt sich die Anfangsgleichung umformen:
für alle x€ 2^B | x€ 2^B
analog für B tm A.

Fragen, Anregungen und Kritik erwünscht!
Hoffe dennoch es passt alles

Anmerkung: Du hast c.) meiner Meinung nach nicht korrekt in die Gegenrichtung bewiesen. Man kann ja nicht folgern, dass (2^(A u B) = 2^A u 2^B) => A tm B

Eine mögliche Lösung ist, das Gegenteil zu beweisen, z.B. so:
!(A tm B oder B tm A)
=> (A !tm B) und (B !tm A)
=> (A !€ 2^B) und (B !€ 2^A)
=> (AuB !€ 2^B) und (AuB !€ 2^A)
=> AuB !€ (2^A u 2^B)
=> 2^(AuB) != (2^A u 2^B)

(zur Schreibweise: "!" heißt "nicht", "AuB" heißt "A vereinigt mit B")

stimmt, das hab ich vergessen. Danke Gregor!
Außerdem hab ich selbst auch ein bissal was anderes auf meinem zettel stehen:
c:
A tm B => 2^A tm 2^B
A tm B => 2^(A u B) = 2^B = 2^B u 2^A

aus: x€2^B oder x€2^A <=> x€2^(AuB) [für alle x]
=>
entweder alle y€B <=> y€(AuB)
oder alle y€A <=> y€(AuB)
daraus folgt: entweder AtmB oder BtmA

dürfte jz stimmen, is aber komplizierter, also nehmts das vom Gregor!

also ich glaube, dass man bei 1.1.4 nicht nur informell argumentieren soll, sondern das in form der prädikatenlogik formalisieren sollte.. ich hab das mal versucht..:

Subjekte:
SL ... Spielleiter
A, B, C ... Die Figuren aus der Skizze

das Prädikat:
A ... beschreibe: "A kennt die Farbe seines Hutes"
B ... analog
C ... analog

!A ... "A kennt nicht die Farbe seines Hutes"
!B ... analog
!C ... analog

w(x) ... "x hat einen weißen Hut"
r(x) .... "x hat einen roten Hut"

nichts(SL) ... "Spielleiter hat keinen Hut in der Hand"

aus den spielregeln (dem text) kann man logisch folgende zusammenhänge ableiten:
(i) nichts(SL) => !A (denn A sagt "Nein", wenn der Spielleiter keinen Hut in der Hand hat)
(ii) !A => !B => !C <=> C => B => A (denn es ist logisch, dass wenn A "Nein" sagt, auch B und C "Nein" sagen)
(iii) !w(x) = r(x), wenn x ein Spieler ist , denn jeder Spieler muss einen Hut aufhaben der entweder rot od. weiß ist
(iv) !r(x) = w(x), wenn x ein Spieler ist, denn jeder Spieler muss einen Hut aufhaben der entweder rot od. weiß ist
(v) (w(x) ^ Term => A) ^ (!w(x) ^ Term => !A) => (w(x) <=> A) => x ^ w(x) (in Worten: wenn, immer wenn x einen weißen Hut hat (w(x)) A "Ja" sagt und immer wenn x keinen weißen Hut (!w(x)) hat A "Nein" sagt, dann folgt daraus, dass (in diesem Fall B) auch direkt weiß, welchen Hut er aufhat,, denn Term bleibt gleich, somit hängt die Antwort von A nur noch vom Hut von B ab und da B die Hüte von C und SL sieht, kann er auch auf seine Farbe schließen - also bei einer best. Farbkomb. kann er aufgrund der Antwort von A auf seine eigene Farbe schließen)
(vi) (r(x) ^ Term => A) ^ (!r(x) ^ Term => !A) => x ^ r(x)

1.) w(B) ^ w(C) ^ nichts(SL) => A, denn es gibt nur 2 weiße Hüte --> das ist aber ein Widerspruch zu (i)
-> !1.) -> !(w(B) ^ w(C) ^ nichts(SL)) <=> !w(B) v !w(C) v !nichts(SL) <=> r(B) v r(C) ... was auch logisch ist, denn B und C können nicht beide weiße Hüte gehabt haben, sonst hätte A gleich "Ja" gesagt

für r(SL):
-----------
2.) r(B) ^ r(C) => A, denn dann haben B und C und der Spielleiter, rote Hüte -> A muss ein weißes haben, also weiß A, welche Farbe er hat
3.) w(B) ^ r(C) => !A => !B => !C, denn A kann jetzt einen roten od. einen weißen Hut haben..
wegen (vi) gilt für 2.) und 3.):
4.) r(B) ^ B
5.) ((w(B) ^ r(C)) v (w(C) ^ r(B)) => !A => !B => !C

-> wenn der Spielleiter einen roten Hut zeigt, müssen B ^ C auch einen roten haben, damit A "Ja" sagt, und genau dann, wenn das gilt, weiß auch B anhand dessen, was A sagt, und was C ^ SL für eine Farbe haben, was er für eine Farbe hat.

für w(SL):
-----------
6.) r(B) ^ r(C) => !A =>!B => !C
7.) w(B) ^ r(C) => A
wegen (v) gilt für 6.) und 7.):
8.) w(B) ^ B
9.) r(B) ^ w(C) => A ^ B (B sieht, dass C ^ D einen weißen Hut haben u. schließt daraus direkt, dass er einen roten hat)

-> B weiß genau dann, welche Farbe er hat, wenn r(C) ^ w(SL) gilt und A "Ja" sagt, od. w(C) und w(SL) gilt

C sieht nur SL, und da sowohl für r(SL), als auch für w(SL) A ^ B gilt, kann C keine Schlüsse ziehen (siehe (v) und (vi)) und weiß somit nicht, welche Farbe sein Hut hat.

b.) nein, es macht keinen Unterschied (siehe oben)

c.)
r(B) ^ r(C) ^ r(SL) => w(A) ^ w(Hut hinter der Wand)
w(B) ^ r(C) ^ w(SL) => r(A) ^ r(Hut hinter der Wand)
r(B) ^ w(C) ^ w(SL) => r(A) ^ r(Hut hinter der Wand)

d.) für keinen!